Wurzel Rechner: Quadratwurzeln und höhere Wurzeln berechnen
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Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 144? Die Antwort ist 12 – und damit ist 12 die Quadratwurzel aus 144. Unser Wurzel Rechner auf rechenhirn.de hilft dabei, solche Aufgaben zu berechnen. Auch bei Kubikwurzeln oder höheren Wurzeln gilt derselbe Grundgedanke: Gesucht ist eine Zahl, deren entsprechende Potenz den Ausgangswert ergibt.
Was bedeutet Wurzelziehen?
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Bei 5² = 25 wird die Zahl 5 quadriert. Mit √25 = 5 geht die Rechnung zurück. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand; der Wurzelexponent oder Wurzelgrad legt fest, welche Wurzel gesucht wird.
Für eine n-te Wurzel gilt:
n√a = b bedeutet: bn = a.
Bei geradem n ist damit die nichtnegative Wurzel gemeint. Das übliche Zeichen √ steht für die Quadratwurzel; die kleine 2 wird weggelassen.
So lässt sich eine Wurzel berechnen
Lege zunächst den Radikanden und den gewünschten Wurzelgrad fest. Für eine Quadratwurzel ist der Grad 2, für eine Kubikwurzel 3. Anschließend kannst du das Ergebnis durch Potenzieren überprüfen. Im Folgenden erkläre ich das an drei Zahlen:
- √196 = 14: Denn 14 × 14 = 196.
- ∛125 = 5: Denn 5 × 5 × 5 = 125.
- 4√81 = 3: Denn 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Nicht jede Wurzel ergibt eine ganze Zahl. Beispielsweise ist √2 eine irrationale Zahl: Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wiederholt sich nicht periodisch. Für praktische Rechnungen verwendet man häufig einen gerundeten Näherungswert.
Wurzeln mit Zahlenbeispielen
Warum √49 nicht ±7 ist
Das Wurzelzeichen bezeichnet bei nichtnegativen reellen Zahlen die nichtnegative Hauptwurzel. Deshalb gilt √49 = 7. Anders sieht es bei der Gleichung x² = 49 aus: Sie hat zwei Lösungen, nämlich x = 7 und x = −7.
Mein Hinweis zur Unterscheidung: Eine Wurzel auszurechnen und eine quadratische Gleichung zu lösen sind verwandte, aber unterschiedliche Aufgaben.
Negative Zahlen und vereinfachte Wurzelterme
Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung. √(−9) ist daher im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Ungerade Wurzeln negativer Zahlen sind dagegen möglich, etwa ∛(−8) = −2.
Manchmal lässt sich ein Wurzelterm ohne Dezimalzahl übersichtlicher schreiben:
√72 = √(36 · 2) = 6√2 ≈ 8,4853.
Dabei wird der quadratische Faktor 36 aus der Wurzel gezogen. Beim weiteren Rechnen ist die exakte Form 6√2 oft günstiger als ein früh gerundeter Wert. Achtung bei Summen: √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7. Eine Wurzel darf also nicht einfach auf die Summanden verteilt werden.