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[rechnerwelt id=“zahlen-runden“]

Ein Preis mit vier Nachkommastellen, ein langer Dezimalbruch oder eine Entfernung, die nur ungefähr benötigt wird: Nicht jede Zahl muss mit allen Ziffern angegeben werden. Mit dem Zahlen runden Rechner kannst du Zahlen auf eine gewünschte Stelle runden. Entscheidend ist dabei, welche Genauigkeit für deine Aufgabe sinnvoll ist.

Im Folgenden erkläre ich die üblichen Rundungsregeln und zeige, wie sich das Runden auf Nachkommastellen, Zehner oder Hunderter auswirkt.

Welche Ziffer entscheidet beim Runden?

Beim üblichen kaufmännischen Runden betrachtest du die Ziffer unmittelbar rechts neben der gewünschten Rundungsstelle:

• 0 bis 4: Die Ziffer an der Rundungsstelle bleibt unverändert.
• 5 bis 9: Die Ziffer an der Rundungsstelle wird um eins erhöht.

Die nachfolgenden Nachkommastellen entfallen. Beim Runden auf Zehner, Hunderter oder größere Stellen werden die rechts liegenden Stellen durch Nullen ersetzt. Entsteht durch das Aufrunden eine 10, wird der Übertrag berücksichtigt: Aus 9,98 wird auf eine Nachkommastelle gerundet 10,0.

Mein Hinweis zur Stellenwahl: Eine Nachkommastelle bedeutet Zehntel, zwei bedeuten Hundertstel und drei Tausendstel. Das ist nicht dasselbe wie das Runden auf Zehner, Hunderter oder Tausender.

Rundungsbeispiele im Überblick

Beispiele nach der kaufmännischen Rundungsregel

Ausgangszahl	Rundungsstelle	Ergebnis
7,342	2 Nachkommastellen	7,34
7,348	2 Nachkommastellen	7,35
12,5	Ganze Zahl	13
2.746	Zehner	2.750
2.746	Hunderter	2.700
−3,45	1 Nachkommastelle	−3,5

Eine Rechnung mit anschließender Rundung

Angenommen, eine Strecke von 17 Metern wird in 6 gleich lange Abschnitte geteilt. Die Länge eines Abschnitts beträgt:

17 ÷ 6 = 2,8333… Meter ≈ 2,83 Meter

Für zwei Nachkommastellen ist die dritte Nachkommastelle entscheidend. Sie lautet 3, daher bleibt die zweite Nachkommastelle unverändert. Das Zeichen ≈ bedeutet „ungefähr gleich“: Der gerundete Wert ist eine Näherung, nicht das exakte Ergebnis.

Negative Zahlen und unterschiedliche Rundungsverfahren

Bei negativen Zahlen wird kaufmännisch zunächst der Betrag gerundet und anschließend das Minuszeichen beibehalten. Deshalb wird aus −3,45 auf eine Nachkommastelle −3,5. Auf der Zahlengeraden liegt das Ergebnis weiter von null entfernt.

Daneben gibt es andere Verfahren. Beim Runden zur geraden Zahl entscheidet bei einem exakten Gleichstand die gerade Endziffer: 2,5 wird zu 2, während 3,5 zu 4 wird. Achte beim Vergleich verschiedener Rechner deshalb auf die verwendete Rundungsregel.

Warum du erst am Ende runden solltest

Mehrfaches Runden kann das Ergebnis verändern. Rundest du 2,449 zunächst auf zwei Nachkommastellen, erhältst du 2,45. Anschließend auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt das 2,5. Direkt auf eine Nachkommastelle gerundet lautet das Ergebnis dagegen 2,4.

Behalte bei längeren Berechnungen daher möglichst viele Stellen in den Zwischenergebnissen. Unser Rechner auf rechenhirn.de hilft dir, den abschließenden Zahlenwert auf die benötigte Genauigkeit zu bringen.

[rechnerwelt id=“psi-bar“]

Auf einem Reifen steht ein Druck in psi, am Manometer lässt sich aber nur bar ablesen: Beide Angaben beschreiben Druck, verwenden jedoch unterschiedliche Einheiten. Mit unserem PSI-Bar-Rechner kannst du den Zahlenwert umrechnen, ohne den Umrechnungsfaktor nachschlagen zu müssen.

Im Folgenden erkläre ich die Umrechnung und zeige anhand konkreter Zahlen, wie psi und bar zusammenhängen. Wichtig ist dabei: Ein umgerechneter Druckwert ist noch keine Empfehlung für den richtigen Betriebsdruck.

Was bedeuten psi und bar?

psi steht für pound-force per square inch, also Pfundkraft pro Quadratzoll. Die Einheit begegnet dir vor allem bei Druckangaben aus dem angloamerikanischen Raum, etwa auf Reifen, Pumpen oder Druckluftgeräten.

Bar ist eine Druckeinheit, die im deutschsprachigen Alltag häufig verwendet wird. Ein bar entspricht genau 100.000 Pascal. Pascal, abgekürzt Pa, ist die SI-Einheit des Drucks.

Die wichtigsten Umrechnungswerte:

• 1 psi ≈ 0,0689476 bar
• 1 bar ≈ 14,5038 psi

Die Faktoren sind hier gerundet. Für eine möglichst genaue Berechnung sollte erst das Endergebnis gerundet werden.

PSI in bar berechnen

Um einen Druck von psi in bar umzurechnen, multiplizierst du den psi-Wert mit ungefähr 0,0689476:

Druck in bar ≈ Druck in psi × 0,0689476

Angenommen, auf einem Reifen ist ein Wert von 35 psi angegeben. Dann lautet die Rechnung:

35 × 0,0689476 ≈ 2,4132 bar

Auf zwei Nachkommastellen gerundet sind das 2,41 bar. Unser Rechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, auch weniger handliche Zahlenwerte umzurechnen.

Häufige Druckwerte im Vergleich

Die folgende Tabelle enthält typische Rechenwerte. Die Ergebnisse in bar sind auf vier Nachkommastellen gerundet und stellen keine Vorgaben für Reifen oder Geräte dar.

Die Gegenrichtung: bar in psi umrechnen

Für die Umrechnung von bar in psi verwendest du den umgekehrten Faktor:

Druck in psi ≈ Druck in bar × 14,5038

Ein Druck von 2,5 bar entspricht damit ungefähr:

2,5 × 14,5038 ≈ 36,26 psi

Mein Hinweis zum Überschlagen: Ein bar entspricht etwa 14,5 psi. Für eine schnelle Größenordnung reicht das häufig aus; bei technischen Berechnungen ist ein genauerer Faktor sinnvoll.

Überdruck und Absolutdruck nicht verwechseln

Der PSI-Bar-Rechner wandelt die Einheit um, nicht den Bezug des Druckwerts. Ein Überdruck bleibt nach der Umrechnung ein Überdruck. Ein Absolutdruck bleibt ein Absolutdruck.

Die Kennzeichnung psig bezeichnet einen Druck relativ zum Umgebungsdruck, psia einen Druck relativ zum Vakuum. Solche Angaben darfst du nicht allein durch eine Einheitenumrechnung gleichsetzen. Zum Wechsel des Druckbezugs muss der jeweilige Umgebungsdruck berücksichtigt werden.

Bei Reifen und druckbeaufschlagten Geräten gelten außerdem die Herstellervorgaben. Eine aufgedruckte Höchstgrenze ist nicht automatisch der empfohlene Betriebsdruck.

[rechnerwelt id=“joule“]

Ein fallender Gegenstand, ein beschleunigtes Fahrrad oder ein eingeschalteter Wasserkocher: In allen drei Fällen lässt sich Energie in Joule (J) angeben. Welche Rechnung dahintersteckt, hängt von den bekannten Größen ab. Mit einem Joule Rechner lassen sich passende Energiewerte ermitteln und unterschiedliche Einheiten vergleichen. Ich erläutere hier die wichtigsten Formeln und zeige ihre Anwendung an konkreten Zahlen.

Was bedeutet ein Joule?

Das Joule ist die SI-Einheit für Energie, Arbeit und Wärmemenge. Ein Joule entspricht der Arbeit, die eine Kraft von einem Newton über einen Weg von einem Meter verrichtet, wenn Kraft und Bewegung dieselbe Richtung haben:

1 J = 1 N · m = 1 kg · m²/s² = 1 W · s

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Energie und Leistung: Joule beschreibt eine Energiemenge. Watt beschreibt, wie viel Energie pro Sekunde umgesetzt wird. Ein Gerät mit einer Leistung von einem Watt setzt in einer Sekunde ein Joule um.

Welche Formel passt zur Aufgabe?

Bevor du unseren Rechner verwendest, prüfe die Angaben deiner Aufgabe. Masse und Geschwindigkeit führen zu einer anderen Berechnung als Leistung und Zeit.

• Bewegungsenergie: E = ½ · m · v², mit Masse m in Kilogramm und Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde.
• Lageenergie: E = m · g · h, mit Höhe h in Metern und näherungsweise g = 9,81 m/s² nahe der Erdoberfläche.
• Energie bei konstanter Leistung: E = P · t, mit Leistung P in Watt und Zeit t in Sekunden.
• Mechanische Arbeit: W = F · s bei konstanter Kraft in Bewegungsrichtung, mit Kraft F in Newton und Weg s in Metern.

Mein Hinweis zur Eingabe: Rechne zunächst in die passenden Einheiten um. Beispielsweise entsprechen 36 km/h genau 10 m/s; fünf Minuten sind 300 Sekunden.

Rechenbeispiele mit Zahlen

Die folgende Tabelle zeigt typische Berechnungen. Bei der Lageenergie ist die Höhe auf ein frei gewähltes Ausgangsniveau bezogen.

Bei der Bewegungsenergie wird die Geschwindigkeit quadriert. Verdoppelt sie sich bei gleicher Masse von 3 auf 6 m/s, steigt die Energie deshalb von 9 auf 36 Joule. Die Masse geht dagegen nur einfach in die Formel ein.

Joule in Kilojoule und Kilowattstunden umrechnen

Für größere Energiemengen sind Kilojoule oder Kilowattstunden übersichtlicher. Es gelten folgende Beziehungen:

• 1 kJ = 1.000 J
• 1 Wh = 3.600 J
• 1 kWh = 3.600.000 J = 3,6 MJ

Ein Gerät mit konstant 1.000 Watt setzt in 30 Minuten rechnerisch 1.800.000 Joule um. Das entspricht 1.800 kJ beziehungsweise 0,5 kWh. Wie viel davon als gewünschte Nutzenergie ankommt, hängt vom jeweiligen Gerät und seinen Verlusten ab.

Typische Stolperstellen beim Joule Rechner

Gramm statt Kilogramm oder Minuten statt Sekunden verändern das Ergebnis erheblich. Auch Watt und Wattstunden sind nicht austauschbar: Watt ist eine Leistung, Wattstunden sind eine Energieeinheit. Bei Lageenergie zählt zudem der Höhenunterschied, nicht die Länge des zurückgelegten Weges. Wer diese Angaben sauber trennt, kann Energieberechnungen mit unserem Joule Rechner auf rechenhirn.de besser einordnen.

[rechnerwelt id=“interpolieren“]

In einer Wertetabelle fehlt genau der Eintrag, den du brauchst: Für 10 Minuten sind 30 °C angegeben, für 20 Minuten 50 °C. Welcher Wert gehört zu 14 Minuten? Mit Interpolation lässt sich ein Zwischenwert aus bekannten Stützpunkten berechnen. Unser Interpolieren-Rechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, solche Aufgaben zu lösen.

Im Folgenden erkläre ich die lineare Interpolation. Sie verbindet zwei bekannte Punkte durch eine Gerade. Das ist übersichtlich und für viele Schätzungen geeignet – setzt aber voraus, dass ein geradliniger Verlauf zwischen den Punkten sinnvoll ist.

Was bedeutet interpolieren?

Beim Interpolieren wird ein unbekannter Wert innerhalb eines Bereichs bekannter Daten bestimmt. Die vorhandenen Wertepaare heißen Stützpunkte. Bei der linearen Interpolation reichen zwei davon: (x0, y0) und (x1, y1).

Gesucht ist der zu einem bestimmten x gehörende y-Wert. Dabei wird angenommen, dass sich y zwischen den Stützpunkten gleichmäßig verändert. Typische Anwendungen sind das Ergänzen von Tabellen, das Abschätzen von Messwerten oder das Berechnen von Zwischenständen.

Die Formel für die lineare Interpolation

y = y0 + (x − x0) · (y1 − y0) / (x1 − x0)

Der Quotient aus der Änderung von y und der Änderung von x ist die Steigung der Verbindungsgeraden. Wichtig: x0 und x1 müssen verschieden sein, sonst würde durch null geteilt.

Rechenbeispiel: Temperatur nach 14 Minuten

Für ein angenommenes Beispiel sind zwei Stützpunkte bekannt: Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur 30 °C, nach 20 Minuten 50 °C. Gesucht ist der linear interpolierte Wert nach 14 Minuten.

1. Temperaturunterschied: 50 − 30 = 20 °C.
2. Zeitunterschied: 20 − 10 = 10 Minuten.
3. Steigung: 20 / 10 = 2 °C pro Minute.
4. Zwischenwert: 30 + (14 − 10) · 2 = 38 °C.

Die Tabelle zeigt weitere Werte derselben Geraden:

Die 38 °C sind ein berechneter Zwischenwert, kein zusätzlicher Messwert. Eine tatsächliche Temperaturentwicklung kann von der Geraden abweichen.

Worauf es bei der Eingabe ankommt

Für die Berechnung benötigst du die beiden vollständigen Wertepaare und den gesuchten x-Wert. Achte darauf, die Zuordnung nicht zu vertauschen: Zu x0 gehört y0, zu x1 gehört y1. Beide x-Werte müssen außerdem dieselbe Einheit haben; dasselbe gilt für die y-Werte.

Auch fallende Verläufe lassen sich interpolieren. Sinkt y zwischen x = 0 und x = 100 von 80 auf 60, ergibt sich für x = 25:

y = 80 + 25 · (60 − 80) / 100 = 75.

Interpolation ist nicht Extrapolation

Liegt der gesuchte x-Wert außerhalb der Stützpunkte, handelt es sich um Extrapolation. Die Geradenformel lässt sich zwar weiterhin anwenden, der Verlauf wird dann aber über den bekannten Bereich hinaus verlängert.

Mein Hinweis zur Einordnung: Bei deutlich gekrümmten Verläufen kann eine lineare Schätzung unpassend sein. Mit mehreren Stützpunkten kommen beispielsweise stückweise lineare Interpolation, Polynominterpolation oder Splines infrage. Auch diese Verfahren liefern ohne zusätzliche Annahmen keine Garantie für den tatsächlichen Verlauf zwischen Messpunkten.

[rechnerwelt id=“tangens“]

Wie hoch ist eine Wand, wenn der Abstand zu ihr und der Blickwinkel zur Oberkante bekannt sind? Solche Aufgaben lassen sich mit dem Tangens lösen. Er beschreibt im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Unser Tangens Rechner auf rechenhirn.de hilft dabei, den Tangenswert eines Winkels zu bestimmen. Im Folgenden erkläre ich, wie die Berechnung funktioniert und wie sich daraus Seitenlängen oder Winkel ermitteln lassen.

Was der Tangens eines Winkels bedeutet

Die Bezeichnungen der Dreiecksseiten richten sich nach dem betrachteten spitzen Winkel α: Die Gegenkathete liegt ihm gegenüber. Die Ankathete liegt an ihm an, ist aber nicht die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist stets die Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Grundformel:
tan(α) = Gegenkathete ÷ Ankathete

Nach den Seiten umgestellt:
Gegenkathete = Ankathete × tan(α)
Ankathete = Gegenkathete ÷ tan(α)

Der Tangenswert hat keine Einheit, weil zwei Längen miteinander verglichen werden. Dafür müssen beide Seiten in derselben Einheit angegeben sein.

Tangens Rechner verwenden: Grad und Bogenmaß beachten

Für die Tangensberechnung sind der Winkel und seine Winkeleinheit entscheidend. Bei geometrischen Aufgaben steht der Winkel häufig in Grad, beispielsweise 45°. In der Analysis wird dagegen meist das Bogenmaß verwendet: 45° entsprechen π/4 Radiant.

Mein wichtigster Hinweis zur Eingabe: Prüfe die Winkeleinheit. tan(45°) = 1, während tan(45) im Bogenmaß ungefähr 1,620 ergibt. Beide Rechnungen sind mathematisch richtig, beziehen sich aber auf unterschiedliche Winkel.

Häufige Winkel und ihre Tangenswerte

Die Tabelle zeigt typische Werte. Die letzte Spalte veranschaulicht, welche Gegenkathete sich bei einer Ankathete von 10 cm ergibt.

Rechenbeispiel: Höhe aus Abstand und Winkel

Ein Messpunkt liegt auf waagerechtem Boden 12 m von einer senkrechten Wand entfernt. Der Höhenwinkel zur Oberkante beträgt 30°. Gesucht ist zunächst der Höhenunterschied zwischen Messpunkt und Oberkante:

h = 12 m × tan(30°) ≈ 12 m × 0,57735 ≈ 6,93 m

Liegt der Messpunkt 1,50 m über dem Boden, beträgt die gesamte Wandhöhe unter diesen Voraussetzungen ungefähr 8,43 m.

Den Winkel mit dem Arkustangens berechnen

Sind beide Katheten bekannt, liefert die Umkehrfunktion Arkustangens den gesuchten Winkel. Bei einer Gegenkathete von 3 m und einer Ankathete von 4 m lautet die Rechnung:

α = arctan(3 ÷ 4) = arctan(0,75) ≈ 36,87°

Die Schreibweise tan−1 bezeichnet auf vielen Taschenrechnern den Arkustangens, nicht den Kehrwert des Tangens.

Definitionslücken und Steigung

Allgemein gilt tan(α) = sin(α) ÷ cos(α). Bei 90° und allen um ganze Vielfache von 180° versetzten Winkeln ist der Tangens nicht definiert, weil der Kosinus dort null ist.

Auch eine Steigung lässt sich über den Tangens ausdrücken: Steigung in Prozent = tan(α) × 100. Eine Steigung von 100 % entspricht deshalb einem Winkel von 45°, nicht von 90°.

[rechnerwelt id=“primfaktorzerlegung“]

Die Zahl 360 lässt sich als 36 · 10 schreiben – oder vollständig zerlegt als 23 · 32 · 5. In der zweiten Darstellung kommen nur noch Primzahlen vor. Genau darum geht es bei der Primfaktorzerlegung. Unser Rechner auf rechenhirn.de hilft dabei, die Primfaktoren einer natürlichen Zahl zu bestimmen und ihre Potenzschreibweise zu erkennen.

Was sind Primfaktoren?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler besitzt: 1 und sich selbst. Dazu gehören beispielsweise 2, 3, 5, 7 und 11. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine ganze Zahl größer als 1 als Produkt solcher Primzahlen dargestellt.

Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Für 12 ergibt sich beispielsweise 2 · 2 · 3. Die Darstellung 3 · 2 · 2 beschreibt dieselbe Zerlegung. Wiederholte Primfaktoren lassen sich mit Exponenten zusammenfassen: 12 = 22 · 3.

Eine Zahl mit dem Primfaktorzerlegung Rechner berechnen

Gib die natürliche Zahl ein, deren Primfaktoren du bestimmen möchtest. Das Ergebnis lässt sich anschließend etwa zum Kürzen von Brüchen oder zum Berechnen gemeinsamer Teiler verwenden. Im Folgenden erkläre ich den Rechenweg an der Zahl 360:

1. Durch 2 teilen: 360 : 2 = 180, dann 180 : 2 = 90 und 90 : 2 = 45.
2. Mit 3 fortfahren: 45 : 3 = 15 und 15 : 3 = 5.
3. Den letzten Primfaktor erfassen: 5 : 5 = 1. Damit ist die Zerlegung abgeschlossen.

Ergebnis:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5

Mein Hinweis zur Kontrolle: Multipliziere die Primfaktoren wieder miteinander. Es muss die ursprüngliche Zahl entstehen.

Beispiele für Primfaktorzerlegungen

Wofür braucht man die Zerlegung?

Primfaktoren machen gemeinsame Bestandteile von Zahlen sichtbar. Bei 84/126 gilt:

84 = 22 · 3 · 7
126 = 2 · 32 · 7

Der größte gemeinsame Teiler ist 2 · 3 · 7 = 42. Teilt man Zähler und Nenner durch 42, wird der Bruch zu 2/3. Für das kleinste gemeinsame Vielfache verwendet man dagegen jeden vorkommenden Primfaktor mit seinem höchsten Exponenten: 22 · 32 · 7 = 252.

Warum 0 und 1 Sonderfälle sind

1 ist keine Primzahl und besitzt keine Primfaktoren; formal entspricht sie dem leeren Produkt. Auch 0 hat keine Primfaktorzerlegung, denn ein endliches Produkt von Primzahlen ist niemals 0. Bei negativen ganzen Zahlen kann man zunächst −1 ausklammern und anschließend den positiven Betrag zerlegen: −60 = −1 · 22 · 3 · 5.

[rechenfun id=“kreisflaeche“]

Wie viel Fläche steckt in einer runden Tischplatte, einem kreisförmigen Beet oder einer Pizza? Für die Antwort genügt eine einzige Längenangabe: der Radius oder der Durchmesser. Unser Kreisfläche Rechner auf rechenhirn.de unterstützt dich dabei, den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Entscheidend ist, die beiden Größen nicht zu verwechseln.

Die Formel für die Kreisfläche

Der Flächeninhalt eines Kreises ergibt sich aus dem Quadrat des Radius, multipliziert mit der Kreiszahl Pi:

A = π · r2

Mit dem Durchmesser lautet die Formel: A = π · d2 / 4

• A bezeichnet den Flächeninhalt.
• r ist der Radius, also die Strecke vom Mittelpunkt zum Kreisrand.
• d ist der Durchmesser. Er verläuft durch den Mittelpunkt von einem Rand zum anderen; es gilt d = 2 · r.
• π ist die Kreiszahl Pi, näherungsweise 3,14159.

Die Flächeneinheit richtet sich nach der eingegebenen Längeneinheit: Aus Zentimetern werden Quadratzentimeter, aus Metern werden Quadratmeter.

Beispiel: eine runde Tischplatte

Eine Tischplatte hat einen Durchmesser von 120 cm. Ihr Radius beträgt daher 60 cm. Im Folgenden zeige ich die Berechnung in zwei Schritten:

1. Radius bestimmen: r = 120 cm / 2 = 60 cm
2. Fläche berechnen: A = π · (60 cm)2 ≈ 11.309,73 cm2

In Quadratmetern sind das ungefähr 1,13 m2. Für die Umrechnung wird durch 10.000 geteilt, denn 1 m2 entspricht 10.000 cm2.

Kreisflächen im Zahlenvergleich

Die Tabelle zeigt ausgewählte Radien und Durchmesser mit dem zugehörigen Flächeninhalt. Die Flächen sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Warum der doppelte Durchmesser die vierfache Fläche ergibt

Die Kreisfläche wächst quadratisch. Verdoppelt sich der Durchmesser, verdoppelt sich auch der Radius – und dessen Quadrat wird viermal so groß. Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat deshalb viermal die Fläche einer Pizza mit 15 cm Durchmesser: ungefähr 706,86 cm2 statt 176,71 cm2.

Häufige Fehler beim Berechnen

Mein Hinweis für die Eingabe: Prüfe zuerst, ob dein Messwert den Radius oder den Durchmesser angibt. Wer den Durchmesser irrtümlich als Radius verwendet, erhält die vierfache Fläche.

Auch Umfang und Fläche sind unterschiedliche Größen. Der Umfang U = 2 · π · r beschreibt die Länge des Kreisrandes, die Fläche dagegen den eingeschlossenen Bereich. Runde Zwischenergebnisse möglichst nicht; meist genügt es, erst das Endergebnis auf die benötigte Genauigkeit zu kürzen.

[rechenfun id=“partialbruchzerlegung“]

Ein komplizierter Bruchterm lässt sich häufig als Summe einfacherer Brüche schreiben. Genau darum geht es bei der Partialbruchzerlegung. Sie wird vor allem gebraucht, um rationale Funktionen zu integrieren oder algebraische Ausdrücke weiterzuverarbeiten. Unser Partialbruchzerlegung Rechner auf rechenhirn.de hilft dir bei dieser Umformung. Im Folgenden erkläre ich den Ansatz und zeige, wie sich die Koeffizienten berechnen lassen.

Wann ist eine Partialbruchzerlegung möglich?

Ausgangspunkt ist eine rationale Funktion, also ein Quotient aus zwei Polynomen:

f(x) = P(x) / Q(x), wobei Q(x) nicht das Nullpolynom sein darf.

Für die eigentliche Zerlegung muss der Grad des Zählers kleiner sein als der Grad des Nenners. Ist das nicht der Fall, wird zuerst eine Polynomdivision durchgeführt. Anschließend zerlegt man den verbleibenden echten Bruch. Die Nullstellen des ursprünglichen Nenners bleiben dabei vom Definitionsbereich ausgeschlossen.

Ein Beispiel mit zwei verschiedenen Nennerfaktoren

Gesucht ist die Partialbruchzerlegung von:

(3x + 5) / (x² + 3x + 2)

Der Nenner lässt sich als (x + 1)(x + 2) schreiben. Weil beide Faktoren linear und verschieden sind, lautet der Ansatz:

(3x + 5) / [(x + 1)(x + 2)] = A / (x + 1) + B / (x + 2)

1. Nenner beseitigen: Beide Seiten werden mit (x + 1)(x + 2) multipliziert. Daraus folgt: 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
2. x = −1 einsetzen: Es bleibt 2 = A.
3. x = −2 einsetzen: Es ergibt sich −1 = −B, also B = 1.

Damit ist das Ergebnis:

(3x + 5) / (x² + 3x + 2) = 2 / (x + 1) + 1 / (x + 2)

Das Einsetzen der ausgeschlossenen Werte dient hier nur dazu, die Koeffizienten in der entstandenen Polynomgleichung zu bestimmen. Der ursprüngliche Bruch bleibt bei x = −1 und x = −2 undefiniert.

Typische Zerlegungen im Überblick

Wiederholte und quadratische Faktoren

Bei einem mehrfach vorkommenden Linearfaktor müssen alle Potenzen bis zur vorhandenen Vielfachheit berücksichtigt werden. Für (x − a)² braucht der Ansatz deshalb A/(x − a) + B/(x − a)².

Ein über den reellen Zahlen nicht weiter zerlegbarer quadratischer Faktor erhält dagegen einen linearen Zähler. Für x² + 1 lautet der Ansatz (Bx + C)/(x² + 1). Ein konstanter Zähler allein reicht im allgemeinen Fall nicht aus.

Ergebnisse prüfen und zum Integrieren nutzen

Mein Hinweis zur Kontrolle: Fasse die gefundenen Partialbrüche wieder auf einen gemeinsamen Nenner zusammen. Der Zähler muss dann mit dem ursprünglichen Zähler übereinstimmen.

Beim Integrieren wird der Nutzen unmittelbar sichtbar. Aus dem ausführlichen Beispiel folgt auf jedem zusammenhängenden Intervall des Definitionsbereichs:

∫ (3x + 5)/(x² + 3x + 2) dx = 2 ln|x + 1| + ln|x + 2| + C

Für die Eingabe in einen Partialbruchzerlegung Rechner sind eindeutige Klammern wichtig: (3*x+5)/((x+1)*(x+2)) beschreibt den vollständigen Bruch ohne Mehrdeutigkeit.

[rechenfun id=“differentialgleichung“]

Eine Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Gesucht ist also nicht nur eine Zahl, sondern eine Funktion, die eine vorgegebene Beziehung erfüllt. Der Differentialgleichung Rechner auf rechenhirn.de hilft bei der Bearbeitung solcher Aufgaben. Entscheidend sind die Gleichung selbst und gegebenenfalls zusätzliche Anfangsbedingungen.

Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Begriffe und zeige an einfachen Rechnungen, wie allgemeine und eindeutig bestimmte Lösungen entstehen.

Was eine Differentialgleichung ausdrückt

Die Gleichung y′(x) = 2x bedeutet: Die Steigung der gesuchten Funktion beträgt an jeder Stelle x genau 2x. Durch Integration erhält man:

y(x) = x² + C

Die Konstante C ist zunächst beliebig. Deshalb beschreibt diese allgemeine Lösung eine ganze Familie von Funktionen.

Kommt die Anfangsbedingung y(0) = 1 hinzu, folgt durch Einsetzen: 1 = 0² + C. Damit ist C = 1 und die gesuchte Lösung lautet y(x) = x² + 1.

Angaben für den Differentialgleichung Rechner

Für die Berechnung sollten die unbekannte Funktion, ihre Variable und sämtliche Ableitungen eindeutig angegeben sein. y′ bezeichnet die erste Ableitung, y″ die zweite. Welche Schreibweise das Eingabefeld akzeptiert, richtet sich nach den Hinweisen im Tool.

• Gleichung: beispielsweise y′ = 3y.
• Unabhängige Variable: häufig x oder bei zeitlichen Vorgängen t.
• Anfangsbedingung: beispielsweise y(0) = 2.
• Weitere Bedingungen: Bei einer Gleichung zweiter Ordnung kann zusätzlich ein Wert für y′ erforderlich sein.

Mein Hinweis zur Eingabe: Prüfe besonders Vorzeichen und Klammern. Die Ausdrücke −0,5 · y und −0,5 + y beschreiben unterschiedliche Differentialgleichungen.

Beispiele mit Lösungen und Zahlenwerten

Die Tabelle zeigt drei Anfangswertprobleme. Die Zahlenwerte ergeben sich durch Einsetzen in die jeweilige Lösungsfunktion; Näherungswerte sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Trennung der Variablen: ein Rechenweg

Die Gleichung y′ = 3y lässt sich für y ≠ 0 durch Trennung der Variablen lösen:

1. Als Differentiale schreiben: dy/y = 3 dx.
2. Beide Seiten integrieren: ln|y| = 3x + C.
3. Umformen: y = A · e3x.
4. Anfangswert einsetzen: Aus y(0) = 2 folgt A = 2.

Die Funktion y = 0 ist ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Sie geht beim Teilen durch y zunächst verloren, ist aber in der Lösungsfamilie mit A = 0 enthalten.

Ergebnisse durch Ableiten prüfen

Eine Lösung lässt sich kontrollieren, indem man sie ableitet und in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Für y = 2e3x gilt y′ = 6e3x und zugleich 3y = 6e3x. Auch der Anfangswert stimmt: y(0) = 2.

Nicht jede Differentialgleichung besitzt eine einfache geschlossene Lösungsform. Dann können numerische Verfahren Näherungswerte liefern. Ein einzelner Zahlenwert ersetzt jedoch keine allgemeine Lösungsfunktion; außerdem sollten Anfangsbedingungen und der betrachtete Wertebereich stets zur Aufgabe passen.