Interpolieren-Rechner: Zwischenwerte aus bekannten Daten berechnen

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In einer Wertetabelle fehlt genau der Eintrag, den du brauchst: Für 10 Minuten sind 30 °C angegeben, für 20 Minuten 50 °C. Welcher Wert gehört zu 14 Minuten? Mit Interpolation lässt sich ein Zwischenwert aus bekannten Stützpunkten berechnen. Unser Interpolieren-Rechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, solche Aufgaben zu lösen.

Im Folgenden erkläre ich die lineare Interpolation. Sie verbindet zwei bekannte Punkte durch eine Gerade. Das ist übersichtlich und für viele Schätzungen geeignet – setzt aber voraus, dass ein geradliniger Verlauf zwischen den Punkten sinnvoll ist.

Was bedeutet interpolieren?

Beim Interpolieren wird ein unbekannter Wert innerhalb eines Bereichs bekannter Daten bestimmt. Die vorhandenen Wertepaare heißen Stützpunkte. Bei der linearen Interpolation reichen zwei davon: (x0, y0) und (x1, y1).

Gesucht ist der zu einem bestimmten x gehörende y-Wert. Dabei wird angenommen, dass sich y zwischen den Stützpunkten gleichmäßig verändert. Typische Anwendungen sind das Ergänzen von Tabellen, das Abschätzen von Messwerten oder das Berechnen von Zwischenständen.

Die Formel für die lineare Interpolation

y = y0 + (x − x0) · (y1 − y0) / (x1 − x0)

Der Quotient aus der Änderung von y und der Änderung von x ist die Steigung der Verbindungsgeraden. Wichtig: x0 und x1 müssen verschieden sein, sonst würde durch null geteilt.

Rechenbeispiel: Temperatur nach 14 Minuten

Für ein angenommenes Beispiel sind zwei Stützpunkte bekannt: Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur 30 °C, nach 20 Minuten 50 °C. Gesucht ist der linear interpolierte Wert nach 14 Minuten.

1. Temperaturunterschied: 50 − 30 = 20 °C.
2. Zeitunterschied: 20 − 10 = 10 Minuten.
3. Steigung: 20 / 10 = 2 °C pro Minute.
4. Zwischenwert: 30 + (14 − 10) · 2 = 38 °C.

Die Tabelle zeigt weitere Werte derselben Geraden:

Die 38 °C sind ein berechneter Zwischenwert, kein zusätzlicher Messwert. Eine tatsächliche Temperaturentwicklung kann von der Geraden abweichen.

Worauf es bei der Eingabe ankommt

Für die Berechnung benötigst du die beiden vollständigen Wertepaare und den gesuchten x-Wert. Achte darauf, die Zuordnung nicht zu vertauschen: Zu x0 gehört y0, zu x1 gehört y1. Beide x-Werte müssen außerdem dieselbe Einheit haben; dasselbe gilt für die y-Werte.

Auch fallende Verläufe lassen sich interpolieren. Sinkt y zwischen x = 0 und x = 100 von 80 auf 60, ergibt sich für x = 25:

y = 80 + 25 · (60 − 80) / 100 = 75.

Interpolation ist nicht Extrapolation

Liegt der gesuchte x-Wert außerhalb der Stützpunkte, handelt es sich um Extrapolation. Die Geradenformel lässt sich zwar weiterhin anwenden, der Verlauf wird dann aber über den bekannten Bereich hinaus verlängert.

Mein Hinweis zur Einordnung: Bei deutlich gekrümmten Verläufen kann eine lineare Schätzung unpassend sein. Mit mehreren Stützpunkten kommen beispielsweise stückweise lineare Interpolation, Polynominterpolation oder Splines infrage. Auch diese Verfahren liefern ohne zusätzliche Annahmen keine Garantie für den tatsächlichen Verlauf zwischen Messpunkten.