Differentialgleichung Rechner: Lösungen und Anfangswerte bestimmen

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Eine Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Gesucht ist also nicht nur eine Zahl, sondern eine Funktion, die eine vorgegebene Beziehung erfüllt. Der Differentialgleichung Rechner auf rechenhirn.de hilft bei der Bearbeitung solcher Aufgaben. Entscheidend sind die Gleichung selbst und gegebenenfalls zusätzliche Anfangsbedingungen.

Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Begriffe und zeige an einfachen Rechnungen, wie allgemeine und eindeutig bestimmte Lösungen entstehen.

Was eine Differentialgleichung ausdrückt

Die Gleichung y′(x) = 2x bedeutet: Die Steigung der gesuchten Funktion beträgt an jeder Stelle x genau 2x. Durch Integration erhält man:

y(x) = x² + C

Die Konstante C ist zunächst beliebig. Deshalb beschreibt diese allgemeine Lösung eine ganze Familie von Funktionen.

Kommt die Anfangsbedingung y(0) = 1 hinzu, folgt durch Einsetzen: 1 = 0² + C. Damit ist C = 1 und die gesuchte Lösung lautet y(x) = x² + 1.

Angaben für den Differentialgleichung Rechner

Für die Berechnung sollten die unbekannte Funktion, ihre Variable und sämtliche Ableitungen eindeutig angegeben sein. y′ bezeichnet die erste Ableitung, y″ die zweite. Welche Schreibweise das Eingabefeld akzeptiert, richtet sich nach den Hinweisen im Tool.

• Gleichung: beispielsweise y′ = 3y.
• Unabhängige Variable: häufig x oder bei zeitlichen Vorgängen t.
• Anfangsbedingung: beispielsweise y(0) = 2.
• Weitere Bedingungen: Bei einer Gleichung zweiter Ordnung kann zusätzlich ein Wert für y′ erforderlich sein.

Mein Hinweis zur Eingabe: Prüfe besonders Vorzeichen und Klammern. Die Ausdrücke −0,5 · y und −0,5 + y beschreiben unterschiedliche Differentialgleichungen.

Beispiele mit Lösungen und Zahlenwerten

Die Tabelle zeigt drei Anfangswertprobleme. Die Zahlenwerte ergeben sich durch Einsetzen in die jeweilige Lösungsfunktion; Näherungswerte sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Trennung der Variablen: ein Rechenweg

Die Gleichung y′ = 3y lässt sich für y ≠ 0 durch Trennung der Variablen lösen:

1. Als Differentiale schreiben: dy/y = 3 dx.
2. Beide Seiten integrieren: ln|y| = 3x + C.
3. Umformen: y = A · e3x.
4. Anfangswert einsetzen: Aus y(0) = 2 folgt A = 2.

Die Funktion y = 0 ist ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Sie geht beim Teilen durch y zunächst verloren, ist aber in der Lösungsfamilie mit A = 0 enthalten.

Ergebnisse durch Ableiten prüfen

Eine Lösung lässt sich kontrollieren, indem man sie ableitet und in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Für y = 2e3x gilt y′ = 6e3x und zugleich 3y = 6e3x. Auch der Anfangswert stimmt: y(0) = 2.

Nicht jede Differentialgleichung besitzt eine einfache geschlossene Lösungsform. Dann können numerische Verfahren Näherungswerte liefern. Ein einzelner Zahlenwert ersetzt jedoch keine allgemeine Lösungsfunktion; außerdem sollten Anfangsbedingungen und der betrachtete Wertebereich stets zur Aufgabe passen.