Umkehrfunktion Rechner: Funktionen umkehren und nachvollziehen

Eine Funktion ordnet einem Ausgangswert einen Funktionswert zu. Die Umkehrfunktion beschreibt den Weg zurück: Aus dem Ergebnis wird wieder der ursprüngliche Wert. Der Umkehrfunktion Rechner auf rechenhirn.de hilft dabei, diesen Zusammenhang zu berechnen. Entscheidend ist allerdings nicht nur die umgestellte Formel, sondern auch die Frage, auf welchem Bereich die Umkehrung eindeutig ist.

Im Folgenden erkläre ich, wie du eine Funktion umkehrst und weshalb bei manchen Aufgaben eine Einschränkung des Definitionsbereichs nötig ist.

Was bedeutet f−1(x)?

Die Umkehrfunktion einer Funktion f wird mit f−1 bezeichnet. Sie macht die Zuordnung von f rückgängig. Gilt beispielsweise f(3) = 11, dann gilt für die Umkehrfunktion f−1(11) = 3.

Wichtig: f−1(x) ist nicht dasselbe wie 1/f(x). Die hochgestellte −1 bezeichnet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert.

Eine eindeutige Umkehrfunktion existiert auf dem Wertebereich nur, wenn unterschiedliche Eingabewerte auch unterschiedliche Ergebnisse liefern. Diese Eigenschaft heißt Injektivität. Streng monoton steigende oder fallende Funktionen erfüllen diese Voraussetzung auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich.

Eine lineare Funktion Schritt für Schritt umkehren

Als Beispiel dient f(x) = 3x + 2. Um die Umkehrfunktion zu berechnen, gehst du so vor:

1. Funktionsgleichung aufschreiben: y = 3x + 2.
2. x und y vertauschen: x = 3y + 2.
3. Nach y auflösen: x − 2 = 3y, also y = (x − 2)/3.

Damit lautet das Ergebnis f−1(x) = (x − 2)/3. Die ursprüngliche Funktion multipliziert mit 3 und addiert 2. Die Umkehrfunktion zieht zuerst 2 ab und teilt anschließend durch 3: Die Rechenschritte werden in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht.

Beispiele mit konkreten Zahlen

Die Tabelle zeigt typische Funktionspaare. Bei der Quadratfunktion ist der Definitionsbereich bewusst auf nichtnegative Zahlen eingeschränkt.

Warum x² nicht überall umkehrbar ist

Für f(x) = x² ergeben sowohl x = 3 als auch x = −3 den Wert 9. Aus dem Ergebnis allein lässt sich deshalb nicht eindeutig auf den Ausgangswert schließen. Auf ganz ℝ besitzt diese Funktion keine Umkehrfunktion.

Beschränkst du den Definitionsbereich auf x ≥ 0, erhältst du f−1(x) = √x. Wählst du stattdessen x ≤ 0, lautet die Umkehrfunktion f−1(x) = −√x. Die Bereichsangabe entscheidet also darüber, welcher Zweig gemeint ist.

Das Ergebnis des Umkehrfunktion Rechners prüfen

Mein Hinweis zur Kontrolle: Setze die berechnete Umkehrfunktion in die ursprüngliche Funktion ein. Für zulässige Werte muss f(f−1(x)) = x gelten. Beim linearen Beispiel ergibt sich:

3 · ((x − 2)/3) + 2 = x − 2 + 2 = x

Achte außerdem auf vertauschte Bereiche: Der Wertebereich der ursprünglichen Funktion wird zum Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion. Grafisch sind die beiden Funktionsgraphen Spiegelbilder an der Geraden y = x.