Standardabweichung Rechner: Die Streuung von Werten berechnen

Zwei Zahlenreihen können denselben Durchschnitt haben und trotzdem sehr unterschiedlich aussehen. Die Werte 4, 5 und 6 liegen eng beieinander; 0, 5 und 10 sind deutlich weiter verteilt. Ihr Mittelwert beträgt jeweils 5. Die Standardabweichung macht diesen Unterschied messbar: Sie beschreibt, wie stark die Werte um ihren Mittelwert streuen.

Mit unserem Standardabweichung Rechner lässt sich diese Streuung berechnen. Entscheidend ist dabei, ob die Zahlen die gesamte betrachtete Gruppe oder nur eine Stichprobe darstellen. Im Folgenden erkläre ich den Unterschied und zeige die Rechnung an einem überschaubaren Beispiel.

Grundgesamtheit oder Stichprobe?

Für die Berechnung gibt es zwei gebräuchliche Varianten:

• Grundgesamtheit: Alle Werte der untersuchten Gruppe sind bekannt. Die Summe der quadrierten Abweichungen wird durch die Anzahl n geteilt.
• Stichprobe: Die vorhandenen Werte sind eine Auswahl aus einer größeren Gruppe. Für die korrigierte Stichprobenvarianz wird durch n − 1 geteilt.

Erfasst du beispielsweise die Körpergrößen aller Mitglieder einer bestimmten Mannschaft, kannst du diese Mannschaft als Grundgesamtheit betrachten. Möchtest du daraus Aussagen über eine größere Personengruppe ableiten, handelt es sich um eine Stichprobe.

Mein Hinweis zur Auswahl: Nicht die Anzahl der Zahlen entscheidet über die passende Variante, sondern die Fragestellung. Auch eine kleine Gruppe kann vollständig erfasst sein.

Die Formeln für die Standardabweichung

Zunächst wird der arithmetische Mittelwert berechnet:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Anschließend werden die Abweichungen vom Mittelwert quadriert und addiert. Daraus ergeben sich:

• Standardabweichung der Grundgesamtheit: σ = √[Σ(xᵢ − x̄)² / n]
• Korrigierte Stichprobenstandardabweichung: s = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)]

Das Quadrieren verhindert, dass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben. Durch das abschließende Wurzelziehen erhält die Standardabweichung wieder dieselbe Einheit wie die Ausgangswerte.

Rechenbeispiel mit acht Messwerten

Die Zahlenreihe lautet 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Ihre Summe beträgt 40, der Mittelwert also 40 / 8 = 5. Gleiche Werte sind in der Tabelle zusammengefasst.

Für die Grundgesamtheit beträgt die Varianz 32 / 8 = 4. Die Standardabweichung ist daher √4 = 2.

Als Stichprobe ausgewertet ergibt dieselbe Zahlenreihe eine korrigierte Varianz von 32 / 7 ≈ 4,5714. Daraus folgt s ≈ 2,1381.

Was das Ergebnis aussagt

Eine Standardabweichung von 0 bedeutet, dass alle Werte gleich sind. Je größer sie ausfällt, desto stärker streuen die Daten. Einzelne weit entfernte Werte können das Ergebnis deutlich erhöhen, weil die Abweichungen quadriert werden.

Bei Messwerten in Zentimetern wird auch die Standardabweichung in Zentimetern angegeben; die Varianz hingegen in Quadratzentimetern. Ob eine Streuung „groß“ ist, lässt sich nur im jeweiligen Zusammenhang beurteilen.

Für eine verlässliche Berechnung mit dem Standardabweichung Rechner sollten alle Werte dieselbe Einheit haben. Fehlende Angaben sind nicht automatisch Nullen. Runde außerdem möglichst erst das Endergebnis. Die korrigierte Stichprobenstandardabweichung benötigt mindestens zwei Werte.