Stammfunktion Rechner: unbestimmte Integrale berechnen
Stammfunktionsrechner
Welche Funktion ergibt beim Ableiten wieder 2x? Eine Antwort ist x². Ebenso richtig sind aber x² + 3 oder x² − 7. Genau um diese Rückrichtung des Ableitens geht es bei der Stammfunktion. Unser Stammfunktion Rechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, unbestimmte Integrale zu berechnen. Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Regeln und zeige, wie du ein Ergebnis durch Ableiten überprüfst.
Was eine Stammfunktion ausmacht
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn ihre Ableitung mit f(x) übereinstimmt:
F′(x) = f(x)
Das unbestimmte Integral beschreibt die Familie aller Stammfunktionen auf einem Intervall:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Die Integrationskonstante C steht für eine beliebige reelle Zahl. Sie gehört zum vollständigen Ergebnis, weil konstante Summanden beim Ableiten wegfallen. Das dx zeigt an, dass nach der Variablen x integriert wird.
Potenzregel: Exponent erhöhen und teilen
Für viele Schulaufgaben genügt die Potenzregel der Integration. Bei einer Potenz erhöhst du den Exponenten um eins und teilst anschließend durch den neuen Exponenten:
∫ xn dx = xn+1 / (n + 1) + C, für n ≠ −1, jeweils im passenden Definitionsbereich.
Konstante Faktoren bleiben erhalten. Summen und Differenzen lassen sich gliedweise integrieren. Für f(x) = 6x² − 4x + 5 ergibt sich deshalb:
- 6x² integrieren: 6 · x³ / 3 = 2x³.
- −4x integrieren: −4 · x² / 2 = −2x².
- 5 integrieren: Eine Konstante wird zu 5x.
Die gesuchte allgemeine Stammfunktion lautet somit F(x) = 2x³ − 2x² + 5x + C.
Beispiele für Stammfunktionen
Die Tabelle enthält typische Funktionen und Zahlenbeispiele. Bei den trigonometrischen Funktionen wird das Bogenmaß verwendet.
Der Sonderfall 1/x
Bei x−1 = 1/x funktioniert die Potenzregel nicht: Der neue Exponent wäre null, sodass die Formel eine Division durch null enthalten würde. Stattdessen gilt ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Diese Aussage gilt auf Intervallen, die null nicht enthalten. Auf den getrennten Bereichen x < 0 und x > 0 können unterschiedliche Integrationskonstanten gewählt werden.
Das Ergebnis des Stammfunktion Rechners prüfen
Mein wichtigster Hinweis ist die Ableitungsprobe: Leite die berechnete Stammfunktion ab. Aus 2x³ − 2x² + 5x + C wird wieder 6x² − 4x + 5. Damit ist das Ergebnis bestätigt.
Ist zusätzlich etwa F(0) = 3 vorgegeben, lässt sich die Konstante bestimmen: Einsetzen ergibt C = 3. Bei zusammengesetzten Funktionen können dagegen weitere Verfahren wie Substitution oder partielle Integration nötig sein. Nicht jedes unbestimmte Integral lässt sich durch elementare Funktionen ausdrücken.