Polynomdivision Rechner: Polynome teilen und Rest bestimmen

Bei der Polynomdivision wird ein Polynom durch ein anderes geteilt. Das Verfahren ähnelt der schriftlichen Division mit Zahlen: Man bestimmt nacheinander die Terme des Ergebnisses, multipliziert zurück und subtrahiert. Unser Polynomdivision Rechner hilft dir, den Quotienten und einen möglichen Rest zu berechnen.

Das ist beispielsweise nützlich, wenn du einen Bruchterm vereinfachen oder ein Polynom mithilfe einer bekannten Nullstelle zerlegen möchtest. Im Folgenden erkläre ich die Rechenschritte an einem konkreten Beispiel.

Was wird bei einer Polynomdivision berechnet?

Das zu teilende Polynom heißt Dividend, das teilende Polynom Divisor. Als Ergebnis erhältst du den Quotienten und gegebenenfalls einen Rest. Dabei gilt:

Dividend = Divisor · Quotient + Rest

Der Rest ist entweder null oder hat einen kleineren Grad als der Divisor. Der Divisor darf nicht das Nullpolynom sein.

Geht die Division ohne Rest auf, ist der Divisor ein Faktor des ursprünglichen Polynoms. Genau das macht die Polynomdivision beim Lösen von Polynomgleichungen hilfreich.

Ein Beispiel Schritt für Schritt

Wir teilen das Polynom x3 − 2×2 − 5x + 6 durch x − 3:

(x3 − 2×2 − 5x + 6) : (x − 3)

1. Die führenden Terme teilen:
   x3 : x = x2. Zurückmultipliziert ergibt das
   x2(x − 3) = x3 − 3×2.
   Nach dem Subtrahieren bleiben x2 − 5x + 6.
2. Mit dem verbleibenden Polynom fortfahren:
   x2 : x = x. Das Produkt x(x − 3) = x2 − 3x
   wird abgezogen. Übrig bleiben −2x + 6.
3. Den letzten Term bestimmen:
   −2x : x = −2. Weil −2(x − 3) = −2x + 6 gilt, bleibt nach der Subtraktion der Rest 0.

Das Ergebnis lautet daher:

(x3 − 2×2 − 5x + 6) : (x − 3) = x2 + x − 2

Die entsprechende Bruchgleichung gilt für x ≠ 3, da der ursprüngliche Nenner bei x = 3 null wird.

Beispiele mit und ohne Rest

Ein Rest wird nicht einfach weggelassen. Beim zweiten Tabellenbeispiel schreibt man das vollständige Ergebnis als x + 1 + 2/(x − 1), wobei x ≠ 1 gilt.

Polynomdivision und Nullstellen

Ist eine Nullstelle a bekannt, lässt sich das Polynom ohne Rest durch x − a teilen. Im ausführlichen Beispiel ist 3 eine Nullstelle. Der Quotient lässt sich weiter zerlegen:

x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2)

Damit ergibt sich die Faktorisierung (x − 3)(x − 1)(x + 2). Die drei Nullstellen des ursprünglichen Polynoms sind also 3, 1 und −2.

Vorzeichen und fehlende Potenzen beachten

Ordne die Terme vor dem Berechnen nach absteigenden Potenzen. Fehlende Potenzen kannst du mit dem Koeffizienten 0 ergänzen: Aus x3 − 8 wird dann x3 + 0x2 + 0x − 8.

Mein Hinweis zur Kontrolle: Multipliziere den Quotienten mit dem Divisor und addiere den Rest. So muss wieder der Dividend entstehen. Besonders beim Subtrahieren negativer Terme lassen sich auf diese Weise Vorzeichenfehler erkennen.