Partielle Ableitung Rechner: Funktionen mit mehreren Variablen ableiten

Hängt eine Funktion von mehreren Variablen ab, lässt sich ihre Änderung für jede Variable einzeln untersuchen. Genau dafür sind partielle Ableitungen gedacht: Eine Variable wird verändert, die übrigen werden wie Konstanten behandelt. Unser Rechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, partielle Ableitungen zu berechnen und eigene Ergebnisse zu überprüfen.

Was bedeutet „partiell ableiten“?

Bei einer Funktion wie f(x, y) = x²y + 3xy² hängt der Funktionswert sowohl von x als auch von y ab. Deshalb gibt es zwei partielle Ableitungen erster Ordnung:

• ∂f/∂x: Ableitung nach x, während y konstant bleibt.
• ∂f/∂y: Ableitung nach y, während x konstant bleibt.

Das Zeichen ∂ kennzeichnet die partielle Ableitung. Üblich sind auch die Schreibweisen fx und fy. Im Folgenden erkläre ich die Rechnung an derselben Funktion, damit der Unterschied zwischen beiden Ableitungsrichtungen sichtbar wird.

Eine Funktion, zwei Ableitungsrichtungen

Nach x ableiten

Für f(x, y) = x²y + 3xy² bleibt y unverändert. Im ersten Summanden ist y ein konstanter Faktor. Im zweiten Summanden übernimmt 3y² diese Rolle:

∂f/∂x = 2xy + 3y²

Nach y ableiten

Nun bleibt x konstant. Aus x²y wird x², und aus 3xy² wird 6xy:

∂f/∂y = x² + 6xy

Mein Hinweis für die Eingabe: Lege zuerst fest, nach welcher Variablen du ableiten möchtest. Klammern und eindeutig geschriebene Produkte, beispielsweise x^2*y + 3*x*y^2, erleichtern das Lesen eines Terms.

Zahlenbeispiele: Ableitungen an einem Punkt

Eine Ableitungsfunktion beschreibt die Änderungsrate allgemein. Für die Änderungsrate an einem bestimmten Punkt setzt du dessen Koordinaten nach dem Ableiten ein.

Am Punkt (2; 1) beträgt die Änderungsrate in x-Richtung also 7. Bei festgehaltenem y = 1 bewirkt eine kleine Erhöhung von x um 0,01 näherungsweise eine Zunahme des Funktionswerts um 0,07.

Zweite und gemischte partielle Ableitungen

Auch partielle Ableitungen lassen sich erneut ableiten. Für das Beispiel ergeben sich:

• ∂²f/∂x² = 2y
• ∂²f/∂y² = 6x
• ∂²f/(∂y ∂x) = 2x + 6y

Die letzte Rechnung ist eine gemischte Ableitung: Zuerst wird nach x, anschließend nach y abgeleitet. Sind die gemischten zweiten Ableitungen in einer Umgebung stetig, darf ihre Reihenfolge vertauscht werden.

Häufige Fehler beim partiellen Ableiten

Konstant behandeln heißt nicht weglassen: Aus x²y wird beim Ableiten nach x nicht 2x, sondern 2xy. Ein Summand ohne x verschwindet dagegen vollständig bei der Ableitung nach x.

Die bekannten Ableitungsregeln gelten weiterhin. Bei g(x, y) = sin(xy) liefert die Kettenregel beispielsweise ∂g/∂x = y · cos(xy). Der zusätzliche Faktor y entsteht durch das Ableiten der inneren Funktion xy nach x.