n über k Rechner: Binomialkoeffizienten berechnen

Wie viele verschiedene Gruppen aus drei Personen lassen sich aus zehn Personen bilden? Solche Auswahlaufgaben löst der n über k Rechner. Er berechnet den Binomialkoeffizienten, geschrieben als „n über k“ oder C(n, k). Im Beispiel gibt es genau 120 mögliche Dreiergruppen.

Entscheidend ist dabei: Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Element darf nur einmal ausgewählt werden. Eine Gruppe aus Anna, Ben und Clara ist deshalb dieselbe Auswahl wie eine Gruppe aus Clara, Anna und Ben.

Was bedeuten n und k?

Für eine Berechnung mit unserem Rechner benötigst du zwei Werte:

• n ist die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente.
• k ist die Anzahl der Elemente, die du daraus auswählst.

Bei zehn Personen und einer gesuchten Dreiergruppe setzt du also n = 10 und k = 3. Im Folgenden erkläre ich die Formel hinter dieser Berechnung.

Die Formel für „n über k“

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Für die übliche Auswahlaufgabe sind n und k ganze Zahlen mit 0 ≤ k ≤ n. Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät: Beispielsweise ist 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Außerdem gilt 0! = 1.

Der Binomialkoeffizient zählt Kombinationen ohne Wiederholung. Die Division durch k! entfernt dabei die unterschiedlichen Anordnungen derselben Auswahl.

Beispiel: Drei aus zehn auswählen

Für n = 10 und k = 3 ergibt sich:

C(10, 3) = 10! / (3! · 7!)
= (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1)
= 720 / 6
= 120

Mein Hinweis für das Rechnen von Hand: Kürze gemeinsame Fakultäten zuerst. Hier fällt 7! vollständig weg. So bleibt die Rechnung übersichtlich, ohne dass du 10! ausrechnen musst.

Beispiele für verschiedene Auswahlgrößen

Die letzte Zeile beschreibt die Anzahl möglicher Auswahlen von sechs verschiedenen Zahlen aus 49, ohne Berücksichtigung ihrer Reihenfolge oder zusätzlicher Spielregeln.

Warum liefern „10 über 3“ und „10 über 7“ dasselbe Ergebnis?

Wer drei von zehn Elementen auswählt, lässt automatisch sieben übrig. Jede Dreierauswahl entspricht damit genau einer Siebenerauswahl der verbleibenden Elemente. Allgemein gilt die Symmetrie:

C(n, k) = C(n, n − k)

Wann passt der n über k Rechner nicht?

Sobald die Reihenfolge wichtig ist, handelt es sich um eine andere Zählaufgabe. Drei unterschiedliche Podestplätze unter zehn Teilnehmenden können beispielsweise auf 10 · 9 · 8 = 720 Arten vergeben werden – nicht auf 120.

Auch eine Auswahl mit mehrfach verwendbaren Elementen benötigt eine andere Formel. Prüfe deshalb vor der Eingabe auf rechenhirn.de, ob tatsächlich ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt wird.

Sonderfälle: Null oder alle Elemente auswählen

Es gilt C(n, 0) = 1: Es gibt genau eine leere Auswahl. Ebenso ist C(n, n) = 1, denn alle vorhandenen Elemente lassen sich nur auf eine Weise vollständig auswählen. Für nichtnegative ganze Zahlen mit k > n wird der Binomialkoeffizient üblicherweise als 0 definiert: Mehr verschiedene Elemente auszuwählen, als vorhanden sind, ist nicht möglich.