Modulo Rechner: Den Rest einer Division berechnen

17 Bonbons werden gleichmäßig auf 5 Personen verteilt. Jede Person erhält 3 Bonbons, 2 bleiben übrig. Genau diesen Rest einer ganzzahligen Division bestimmt die Modulo-Operation: 17 mod 5 = 2. Unser Modulo Rechner auf rechenhirn.de hilft dabei, solche Divisionsreste zu berechnen.

Die Restrechnung begegnet einem nicht nur im Mathematikunterricht. Sie wird auch für Wochentage, wiederkehrende Abläufe und Teilbarkeitsprüfungen verwendet. Im Folgenden erkläre ich die Rechenregel und zeige, worauf es bei negativen Zahlen ankommt.

Was bedeutet „modulo“?

Bei einer gewöhnlichen Division steht der Quotient im Mittelpunkt. Die Modulo-Rechnung fragt stattdessen: Was bleibt nach der ganzzahligen Aufteilung übrig? Für eine ganze Zahl a und einen positiven ganzzahligen Divisor b gilt:

a = q · b + r

Dabei ist q der ganzzahlige Quotient und r der Rest. Es gilt: 0 ≤ r < b.

Die Modulo-Schreibweise lautet: a mod b = r.

Bei 23 mod 7 passt die 7 dreimal vollständig in die 23. Da 3 · 7 = 21 ist, bleiben 23 − 21 = 2 übrig.

Den Modulo Rechner verwenden

1. Dividend festlegen: Das ist die Zahl, die geteilt werden soll, beispielsweise 23.
2. Divisor festlegen: Das ist die Zahl, durch die geteilt wird, hier 7.
3. Rest berechnen: Das Ergebnis für 23 mod 7 ist 2.

Die Reihenfolge ist wichtig: 23 mod 7 = 2, aber 7 mod 23 = 7. Ist der nichtnegative Dividend kleiner als der positive Divisor, bleibt der gesamte Dividend als Rest.

Beispiele für die Restberechnung

Ein Rest von 0 bedeutet, dass die Zahl ohne Rest teilbar ist. So zeigt 24 mod 6 = 0, dass 24 ein Vielfaches von 6 ist. Ebenso lässt sich prüfen, ob eine ganze Zahl gerade ist: Dann ergibt ihre Division modulo 2 den Rest 0.

Negative Zahlen: Die Konvention entscheidet

Für einen positiven Divisor wird der mathematische Modulo-Rest üblicherweise nichtnegativ gewählt. Deshalb gilt −17 mod 5 = 3, denn −17 = (−4) · 5 + 3.

Mein Hinweis bei Programmieraufgaben: Der Operator % liefert je nach Programmiersprache einen anders definierten Divisionsrest. In JavaScript ergibt -17 % 5 beispielsweise −2. Bei negativen Eingaben sollte deshalb die verwendete Definition geprüft werden.

Wochentage und wiederkehrende Abläufe

Modulo reduziert große Schrittzahlen auf einen überschaubaren Zyklus. Eine Woche hat 7 Tage. Weil 10 mod 7 = 3 gilt, liegt ein Termin 10 Tage nach Montag auf einem Donnerstag: Eine vollständige Woche verändert den Wochentag nicht, die übrigen 3 Tage schon.

Wichtig: Modulo 0 ist nicht definiert. Eine Division durch null ist auch bei der Restberechnung nicht zulässig.