Mitternachtsformel Rechner: Quadratische Gleichungen lösen

Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine reelle Lösung haben. Welche davon vorliegt, lässt sich mit der Mitternachtsformel bestimmen. Unser Rechner hilft dabei, Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen. Dabei sind a, b und c die Koeffizienten der Gleichung; a darf nicht null sein.

Die Mitternachtsformel wird auch allgemeine Lösungsformel oder abc-Formel genannt. Im Folgenden erkläre ich, wie du die Werte richtig zuordnest und das Ergebnis nachvollziehst.

Die Gleichung für den Rechner vorbereiten

Bevor du den Mitternachtsformel Rechner verwendest, bringst du alle Terme auf eine Seite. Auf der anderen Seite muss null stehen. Anschließend liest du die drei Koeffizienten einschließlich ihrer Vorzeichen ab.

Beispiel: Aus 2x² + 3x = 5 wird durch Subtraktion von 5 die Gleichung 2x² + 3x − 5 = 0.

Damit gilt: a = 2, b = 3 und c = −5.

Fehlt ein Term, ist sein Koeffizient null. Bei x² − 9 = 0 setzt du beispielsweise a = 1, b = 0 und c = −9 ein.

So funktioniert die Mitternachtsformel

Für eine quadratische Gleichung mit a ≠ 0 lautet die Lösungsformel:

x1,2 = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Das Zeichen ± steht für zwei Rechnungen: einmal mit Plus und einmal mit Minus vor der Wurzel. Für 2x² + 3x − 5 = 0 ergibt sich folgender Rechenweg:

1. Werte einsetzen: x1,2 = (−3 ± √(3² − 4 · 2 · (−5))) / (2 · 2)
2. Wurzelausdruck berechnen: 9 + 40 = 49 und √49 = 7.
3. Erste Lösung: x1 = (−3 + 7) / 4 = 1.
4. Zweite Lösung: x2 = (−3 − 7) / 4 = −2,5.

Die Probe bestätigt beide Ergebnisse: Für x = 1 erhältst du 2 + 3 − 5 = 0. Für x = −2,5 ergibt sich 12,5 − 7,5 − 5 = 0.

Was die Diskriminante über die Lösungen verrät

Der Ausdruck D = b² − 4ac heißt Diskriminante. Sein Vorzeichen entscheidet darüber, wie viele reelle Lösungen die quadratische Gleichung besitzt.

Bei D > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Bei D = 0 fallen beide zusammen. Ist D < 0, gibt es keine reellen Lösungen; im Bereich der komplexen Zahlen lässt sich die Gleichung dennoch lösen.

Vorzeichen, Klammern und typische Fehler

Mein Hinweis für die Eingabe: Übernimm negative Koeffizienten immer mit ihrem Vorzeichen. Bei b = −5 wird aus −b der Wert +5; zugleich gilt b² = (−5)² = 25. Außerdem teilt der Nenner 2a den gesamten Zähler, nicht nur den Wurzelausdruck.

Die Mitternachtsformel funktioniert auch dann, wenn a nicht 1 ist. Anders als bei der pq-Formel musst du die Gleichung daher nicht zuerst durch a teilen. Berechnest du damit die Nullstellen einer quadratischen Funktion, entsprechen die reellen Lösungen den x-Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit der x-Achse.