Komplexe Zahlen Rechner: mit Realteil und Imaginärteil rechnen
Rechner wird geladen …
Die Gleichung x² = −1 besitzt keine reelle Lösung. Mit der imaginären Einheit i, für die i² = −1 gilt, lässt sie sich dennoch lösen: Ihre Lösungen sind i und −i. Der Komplexe Zahlen Rechner hilft dabei, Ausdrücke mit solchen Zahlen zu berechnen und Ergebnisse nachzuvollziehen. Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Rechenregeln anhand konkreter Beispiele.
Was bedeutet die Schreibweise a + bi?
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi. Dabei sind a und b reelle Zahlen. Der Wert a ist der Realteil, b der Imaginärteil. Bei z = 3 + 2i beträgt der Realteil also 3 und der Imaginärteil 2 – nicht 2i.
Anschaulich entspricht diese Zahl dem Punkt (3; 2) in der komplexen Zahlenebene. Die waagerechte Achse stellt den Realteil dar, die senkrechte Achse den Imaginärteil. Auch reelle Zahlen gehören zu den komplexen Zahlen: Beispielsweise ist 5 gleich 5 + 0i.
Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren
Beim Addieren und Subtrahieren werden Realteile und Imaginärteile jeweils getrennt verrechnet. Für die Multiplikation gilt das gewöhnliche Ausmultiplizieren. Anschließend ersetzt man i² durch −1.
Beispiel: (3 + 2i) · (1 − 4i)
3 − 12i + 2i − 8i²
= 3 − 10i + 8
= 11 − 10i
Mein Hinweis für die Rechnung von Hand: Ersetze i² erst nach dem Ausmultiplizieren. So bleibt sichtbar, warum aus −8i² der positive Wert +8 wird.
Rechenbeispiele im Überblick
Die folgenden Aufgaben zeigen typische Rechnungen, die sich mit einem Rechner für komplexe Zahlen überprüfen lassen.
Division mit der konjugierten Zahl
Bei einer Division wird der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert. Dazu wechselt das Vorzeichen des Imaginärteils: Aus 1 − 4i wird 1 + 4i.
(3 + 2i) / (1 − 4i)
= [(3 + 2i) · (1 + 4i)] / [(1 − 4i) · (1 + 4i)]
= (−5 + 14i) / 17
= −5/17 + (14/17)i
Der Nenner ist nun reell, denn (1 − 4i)(1 + 4i) = 1 + 16 = 17. Durch die komplexe Zahl 0 darf auch hier nicht geteilt werden.
Betrag und Polarform berechnen
Der Betrag einer komplexen Zahl beschreibt ihren Abstand vom Ursprung. Für z = a + bi gilt:
|z| = √(a² + b²)
Für 3 + 4i ergibt sich deshalb |z| = √(9 + 16) = 5. Zusammen mit dem Winkel φ lässt sich eine komplexe Zahl auch in Polarform schreiben: z = r · (cos φ + i sin φ). Dabei ist r der Betrag. Bei der Winkelberechnung muss der Quadrant berücksichtigt werden; außerdem sind Gradmaß und Bogenmaß zu unterscheiden.
Vorzeichen und Klammern richtig setzen
Wenn du unseren Komplexe Zahlen Rechner verwendest, achte bei zusammengesetzten Ausdrücken besonders auf Klammern. (3 + 2i) / (1 − 4i) bezeichnet die Division zweier vollständiger komplexer Zahlen. Ohne passende Klammern kann ein anderer Ausdruck entstehen. Für eine Kontrolle von Hand lohnt sich außerdem der Blick auf i²: Es ist −1, nicht 1.