kgV-Rechner: Das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen

Beim Addieren von Brüchen oder bei regelmäßig wiederkehrenden Terminen stellt sich häufig dieselbe Frage: Welche Zahl ist ein Vielfaches aller beteiligten Zahlen? Der kgV-Rechner hilft dabei, das kleinste gemeinsame Vielfache positiver ganzer Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden erkläre ich, was das Ergebnis bedeutet und wie sich die Rechnung nachvollziehen lässt.

Was bedeutet kgV?

Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch jede der gegebenen positiven ganzen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Für 6 und 8 ist das beispielsweise 24:

• Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, …
• Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, …

24 ist die erste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. Daher gilt: kgV(6, 8) = 24. Weitere gemeinsame Vielfache sind 48, 72 und 96; gesucht ist jedoch das kleinste.

Den kgV-Rechner verwenden

Gib die positiven ganzen Zahlen, deren gemeinsames Vielfaches du bestimmen möchtest, in unseren Rechner ein. Das Ergebnis lässt sich einfach prüfen: Teile es nacheinander durch jede Ausgangszahl. Dabei darf kein Rest entstehen. Diese Prüfung bestätigt die gemeinsame Teilbarkeit; dass es tatsächlich das kleinste gemeinsame Vielfache ist, lässt sich etwa mithilfe der Primfaktorzerlegung zeigen.

Mein Hinweis zur Eingabe: Für die übliche kgV-Berechnung werden positive ganze Zahlen verwendet. Eine Dezimalzahl wie 2,5 gehört nicht unmittelbar zu dieser Aufgabenstellung.

Beispiele mit Zahlen

Das kgV mit Primfaktoren berechnen

Für größere Zahlen wird das Auflisten der Vielfachen schnell unübersichtlich. Stattdessen zerlegt man die Zahlen in Primfaktoren. Für das kgV wird jeder vorkommende Primfaktor mit seiner höchsten auftretenden Potenz übernommen.

Bei 12 und 18 sieht die Rechnung so aus:

• 12 = 22 × 3
• 18 = 2 × 32
• kgV(12, 18) = 22 × 32 = 36

Alternativ lässt sich der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, nutzen. Für zwei positive ganze Zahlen gilt:

kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b)

Da ggT(12, 18) = 6 ist, ergibt sich ebenfalls: 12 × 18 ÷ 6 = 36.

Gemeinsame Nenner und wiederkehrende Termine

Beim Bruchrechnen liefert das kgV der Nenner den kleinsten gemeinsamen Nenner. Für 1/6 + 1/8 ist dieser 24:

1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24.

Auch Zeitabstände lassen sich damit vergleichen: Zwei Signale ertönen alle 6 beziehungsweise 8 Minuten. Ertönen sie jetzt gleichzeitig, fallen sie nach 24 Minuten erstmals wieder zusammen – vorausgesetzt, beide Intervalle bleiben unverändert.

kgV und ggT nicht verwechseln

Der ggT teilt die Ausgangszahlen; das kgV ist durch die Ausgangszahlen teilbar. Bei 8 und 12 beträgt der ggT deshalb 4, das kgV dagegen 24. Ist eine Zahl bereits ein Vielfaches der anderen, entspricht das kgV der größeren Zahl: kgV(5, 20) = 20.