Integralrechner: Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen

Wie groß ist die Fläche unter einer Kurve? Und welche Funktion ergibt beim Ableiten wieder den ursprünglichen Term? Beide Fragen führen zur Integralrechnung. Mit einem Integralrechner lassen sich bestimmte Integrale berechnen und Stammfunktionen ermitteln. Entscheidend ist dabei, ob du ein Ergebnis als Funktion oder als Zahlenwert suchst.

Im Folgenden erkläre ich den Unterschied und zeige die Rechnung an einfachen Beispielen. Unser Rechner auf rechenhirn.de steht direkt oberhalb des Artikels.

Unbestimmtes Integral: eine Stammfunktion finden

Beim unbestimmten Integral suchst du zu einer Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x). Ihre Ableitung muss wieder f(x) ergeben. Weil konstante Summanden beim Ableiten wegfallen, gehört die Integrationskonstante C zum Ergebnis.

Beispiel:
∫ 2x dx = x2 + C

Die Probe erfolgt durch Ableiten: Die Ableitung von x2 + C ist 2x – unabhängig davon, welchen konstanten Wert C hat.

Für Potenzen gilt auf einem passenden Definitionsintervall die Potenzregel:

∫ xn dx = xn+1 / (n + 1) + C, sofern n ≠ −1.

Der Sonderfall n = −1 führt zum natürlichen Logarithmus: ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Diese Stammfunktion gilt auf Intervallen, die die Null nicht enthalten.

Bestimmtes Integral: mit Grenzen rechnen

Ein bestimmtes Integral besitzt eine untere Grenze a und eine obere Grenze b. Ist die Funktion auf diesem Intervall stetig, berechnest du es mithilfe einer Stammfunktion:

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Für f(x) = 2x zwischen 1 und 3 lautet die Rechnung:

1. Stammfunktion bestimmen: F(x) = x2.
2. Obere Grenze einsetzen: F(3) = 9.
3. Untere Grenze einsetzen: F(1) = 1.
4. Differenz bilden: 9 − 1 = 8.

Die Konstante C fällt bei der Subtraktion weg. Mein Hinweis zur Kontrolle: Die Reihenfolge lautet immer oberer Funktionswert minus unterer Funktionswert.

Integral-Beispiele mit Ergebnissen

Warum ein Integral nicht immer den Flächeninhalt liefert

Das bestimmte Integral beschreibt eine vorzeichenbehaftete Flächenbilanz: Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, Bereiche unterhalb negativ. Deshalb ergibt das Integral von f(x) = x zwischen −1 und 1 den Wert 0, obwohl zwei Flächenstücke vorhanden sind.

Für den geometrischen Flächeninhalt musst du an den Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren. Im genannten Beispiel sind das 0,5 + 0,5 = 1 Flächeneinheit.

Definitionslücken vor der Berechnung beachten

Prüfe vor der Eingabe in den Integralrechner, ob die Funktion im gesamten Integrationsintervall definiert ist. Bei 1/x liegt beispielsweise an x = 0 eine Polstelle. Das Integral von −1 bis 1 darf deshalb nicht einfach durch Einsetzen in ln|x| berechnet werden: Als gewöhnliches uneigentliches Integral existiert es nicht.