Fakultät Rechner: n! berechnen und verstehen

Wie viele Reihenfolgen sind möglich, wenn fünf verschiedene Bücher nebeneinander stehen sollen? Die Antwort liefert die Fakultät: 5! = 120. Das Ausrufezeichen ist hier ein mathematisches Zeichen. Es steht dafür, alle positiven ganzen Zahlen von 1 bis zur angegebenen Zahl miteinander zu multiplizieren.

Mit unserem Fakultät Rechner auf rechenhirn.de lässt sich n! berechnen, ohne die gesamte Multiplikation von Hand auszuführen. Im Folgenden erkläre ich die Rechenregel und zeige, wann sie bei Anordnungen und Auswahlmöglichkeiten hilft.

Was bedeutet die Fakultät einer Zahl?

Für eine positive ganze Zahl n ist die Fakultät folgendermaßen definiert:

n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Beispiel: 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Zusätzlich gilt per Definition 0! = 1. Das passt zur kombinatorischen Bedeutung: Für eine leere Menge gibt es genau eine Anordnung, nämlich die leere Anordnung. Auch die Beziehung n! = n · (n − 1)! bleibt dadurch für n = 1 gültig.

Den Fakultät Rechner verwenden

Gib die nichtnegative ganze Zahl ein, deren Fakultät du bestimmen möchtest. Für 7! ist also 7 die gesuchte Eingabe. Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Zahl und Fakultät: 7! ergibt nicht 7 · 7, sondern das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis 7.

Negative ganze Zahlen und Dezimalzahlen gehören nicht zur elementaren Fakultätsdefinition. Für bestimmte nicht ganzzahlige Werte gibt es eine Erweiterung über die Gammafunktion; diese ist von der üblichen Berechnung von n! zu unterscheiden.

Wertetabelle: von 0! bis 20!

Schon bei kleinen Eingaben wächst die Fakultät deutlich. Die folgenden Zahlenbeispiele zeigen die Größenordnung:

Rechenbeispiel: fünf Bücher im Regal

Für den ersten Platz stehen fünf unterschiedliche Bücher zur Auswahl. Danach bleiben vier, anschließend drei, zwei und zuletzt eines. Nach dem Produktprinzip ergeben sich:

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 Anordnungen.

Mein Hinweis dazu: Diese Rechnung setzt voraus, dass alle Bücher unterscheidbar sind und keine weiteren Vorgaben gelten. Identische Gegenstände verändern die Anzahl unterscheidbarer Anordnungen.

Fakultäten bei Auswahlaufgaben kürzen

Auch der Binomialkoeffizient verwendet Fakultäten. Werden aus sechs Personen zwei ausgewählt, ohne ihre Reihenfolge zu beachten, lautet die Rechnung:

6! / (2! · 4!) = (6 · 5) / (2 · 1) = 15.

Es gibt also 15 verschiedene Zweiergruppen. Hier muss man nicht jede Fakultät vollständig ausrechnen: Der gemeinsame Faktor 4! lässt sich kürzen. Bei solchen Brüchen lohnt es sich deshalb, zuerst die Faktoren zu betrachten und erst danach die verbleibenden Zahlen zu multiplizieren.