Durchschnitt Rechner: Mittelwerte berechnen und verstehen

Mehrere Zahlen lassen sich oft mit einem einzigen Wert zusammenfassen: ihrem Durchschnitt. Das ist beispielsweise bei Ausgaben, Messwerten oder Punktzahlen hilfreich. Unser Durchschnitt Rechner auf rechenhirn.de unterstützt dich dabei, das arithmetische Mittel zu berechnen. Entscheidend ist dabei nicht nur das Ergebnis, sondern auch, ob alle Werte gleich stark zählen sollen.

Wie berechnet man den Durchschnitt?

Für den einfachen Durchschnitt addierst du sämtliche Werte und teilst die Summe durch deren Anzahl. Jeder Wert erhält dabei dasselbe Gewicht. Im Folgenden erkläre ich die Rechnung an einer überschaubaren Zahlenreihe.

Formel für das arithmetische Mittel:

Durchschnitt = Summe aller Werte ÷ Anzahl der Werte

In mathematischer Schreibweise: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Die Zahlen 12, 15 und 18 ergeben zusammen 45. Da drei Werte vorliegen, lautet die Rechnung: 45 ÷ 3 = 15. Der Durchschnitt beträgt also 15.

Beispiel: durchschnittliche Ausgaben

Angenommen, du möchtest deine Ausgaben für fünf Tage zusammenfassen. Die folgenden Beträge sind ein Rechenbeispiel:

Die Berechnung lautet: (12 + 18 + 15 + 10 + 20) ÷ 5 = 15. Du hast in diesem Beispiel durchschnittlich 15 Euro pro Tag ausgegeben. Dass einzelne Tage darüber oder darunter liegen, ist dabei unerheblich.

Wenn Werte unterschiedlich stark zählen

Nicht immer ist das einfache Mittel passend. Zählt beispielsweise eine Prüfung doppelt so stark wie eine andere, brauchst du einen gewichteten Durchschnitt. Dazu multiplizierst du jeden Wert mit seinem Gewicht, addierst die Produkte und teilst durch die Summe der Gewichte.

Bei einer Note 2 mit Gewicht 1 und einer Note 3 mit Gewicht 2 ergibt sich:

(2 × 1 + 3 × 2) ÷ (1 + 2) = 8 ÷ 3 ≈ 2,67

Das ungewichtete Mittel wäre dagegen 2,5. Für die Berechnung von Notendurchschnitten ist deshalb wichtig, die vorgegebene Gewichtung zu kennen.

Nullwerte, fehlende Angaben und Ausreißer

• Null zählt mit: Der Durchschnitt von 0, 10 und 20 beträgt 10. Die Null ist ein vollständiger Zahlenwert.
• Fehlend ist nicht null: Eine unbekannte Ausgabe darfst du nicht ohne Begründung als 0 Euro behandeln.
• Negative Werte sind möglich: Aus −5 und 15 ergibt sich ein Mittelwert von 5.
• Ausreißer verändern das Ergebnis: Bei 10, 10 und 100 beträgt der Durchschnitt 40, obwohl zwei Werte deutlich darunter liegen.

Mein Hinweis zur Einordnung: Bei stark ungleichen Zahlen kann zusätzlich der Median sinnvoll sein. Er bezeichnet den mittleren Wert einer sortierten Zahlenreihe und liegt im letzten Beispiel bei 10.

Wie viele Nachkommastellen sind sinnvoll?

Runde möglichst erst das Endergebnis. Aus 1, 2 und 2 ergibt sich beispielsweise 5 ÷ 3 = 1,666…; auf zwei Nachkommastellen gerundet sind das 1,67. Bei Geldbeträgen sind meist zwei Nachkommastellen zweckmäßig. Messwerte sollten nur so genau angegeben werden, wie es die zugrunde liegenden Daten erlauben.