Binomialverteilung-Rechner: Wahrscheinlichkeiten für Treffer berechnen

Wie wahrscheinlich sind genau sechs richtige Antworten bei zehn Ratefragen? Und wie groß ist die Chance, mindestens einen fehlerhaften Artikel in einer Stichprobe zu finden? Der Binomialverteilung-Rechner hilft bei Aufgaben, in denen ein Versuch mehrfach wiederholt wird und jedes Mal zwei mögliche Ergebnisse hat: Treffer oder Nichttreffer.

Mit unserem Rechner auf rechenhirn.de lassen sich solche Wahrscheinlichkeiten berechnen. Ich erkläre im Folgenden, welche Angaben dafür nötig sind und warum „genau“, „höchstens“ und „mindestens“ unterschiedliche Ergebnisse liefern.

Wann passt die Binomialverteilung?

Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt, wenn sie die Anzahl der Treffer bei n unabhängigen Versuchen zählt. Die Trefferwahrscheinlichkeit p muss bei jedem Versuch gleich bleiben. Dabei bedeutet „Treffer“ lediglich das betrachtete Ergebnis – auch ein defektes Bauteil kann als Treffer gezählt werden.

• n: Anzahl der Versuche, beispielsweise 10 Münzwürfe.
• p: Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch, beispielsweise 0,5 für „Kopf“ bei einer fairen Münze.
• k: Anzahl der gesuchten Treffer, beispielsweise 6-mal „Kopf“.

Wichtig: Beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Menge sind die Versuche im Allgemeinen nicht unabhängig. Dafür ist häufig die hypergeometrische Verteilung das passende Modell.

Die Formel für genau k Treffer

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt:

P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n−k

Dabei ist C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) der Binomialkoeffizient. Er zählt, auf wie viele Arten sich k Treffer auf n Versuche verteilen können.

Für n gilt: Es ist eine nichtnegative ganze Zahl. Die Trefferzahl k liegt zwischen 0 und n, die Wahrscheinlichkeit p zwischen 0 und 1. Eine Wahrscheinlichkeit von 30 % entspricht also p = 0,3.

Beispiel: zehn Münzwürfe, sechs Treffer

Eine faire Münze wird zehnmal unabhängig geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau sechsmal „Kopf“. Dafür setzt man n = 10, p = 0,5 und k = 6 ein:

P(X = 6) = 210 · 0,56 · 0,54 = 0,205078125

Das entspricht rund 20,51 %. Ändert sich die Fragestellung, müssen mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden:

Mein Hinweis zur Eingabe: „Mindestens sechs“ schließt sechs Treffer ein. „Mehr als sechs“ beginnt dagegen erst bei sieben. Diese sprachliche Unterscheidung ist eine häufige Fehlerquelle.

Mindestens ein Treffer: über das Gegenereignis rechnen

Angenommen, jedes Bauteil ist unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % fehlerhaft. Bei 20 Bauteilen ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein fehlerhaftes Teil:

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9820 ≈ 33,24 %

Statt die Wahrscheinlichkeiten für 1 bis 20 Fehler zu addieren, zieht man die Wahrscheinlichkeit für keinen Fehler von 1 ab.

Erwartungswert und Streuung einordnen

Der Erwartungswert μ = n · p beschreibt die langfristig durchschnittliche Trefferzahl. Die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)) beschreibt die Streuung um diesen Wert.

Bei zehn fairen Münzwürfen ergeben sich μ = 5 und σ ≈ 1,58. Fünf Treffer sind damit der erwartete Durchschnitt – nicht das garantierte Ergebnis einer einzelnen Serie.