Ableitungsrechner: Ableitungen von Funktionen berechnen

Wie steil verläuft eine Kurve an einer bestimmten Stelle? Die Ableitung beantwortet diese Frage. Bei einer Weg-Zeit-Funktion beschreibt sie beispielsweise die momentane Geschwindigkeit. Unser Ableitungsrechner auf rechenhirn.de hilft dir dabei, die Ableitung einer Funktion zu berechnen und eigene Rechenschritte zu überprüfen.

Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Ableitungsregeln und zeige an Zahlenbeispielen, wie sich eine Ableitungsfunktion auswerten lässt.

Was die erste Ableitung aussagt

Die erste Ableitung f′(x) beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion f(x). Geometrisch entspricht sie der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen. An Stellen, an denen die Funktion differenzierbar ist, gilt:

• f′(x) > 0: Die Funktion hat dort eine positive Steigung.
• f′(x) < 0: Die Funktion hat dort eine negative Steigung.
• f′(x) = 0: Die Tangente verläuft waagerecht. Eine Extremstelle ist möglich, aber nicht garantiert.

Die mathematische Grundlage ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:

f′(x) = limh → 0 [f(x + h) − f(x)] / h

Für praktische Rechnungen nutzt man meist Ableitungsregeln, statt diesen Grenzwert jedes Mal einzeln zu bestimmen.

Eine Funktion mit dem Ableitungsrechner untersuchen

Gib die Funktion ein, die du ableiten möchtest. Achte auf eindeutige Klammern: (x+1)^2 bezeichnet eine andere Funktion als x+1^2. Bei Funktionen mit mehreren Variablen muss außerdem feststehen, nach welcher Variablen abgeleitet wird.

Mein Hinweis für die Kontrolle: Unterscheide zwischen der Ableitungsfunktion und einem Ableitungswert. Aus f(x) = x² entsteht zunächst f′(x) = 2x. Erst durch Einsetzen von beispielsweise x = 3 erhältst du die konkrete Steigung f′(3) = 6.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Bei der Potenzregel wird der Exponent zum Vorfaktor und anschließend um eins verringert: (xⁿ)′ = n · xn−1. Die Kettenregel berücksichtigt zusätzlich die Ableitung der inneren Funktion.

Rechenbeispiel: Steigung und Extremstelle

Gegeben ist f(x) = x² − 4x + 3. Die einzelnen Terme werden getrennt abgeleitet:

1. x² wird zu 2x.
2. −4x wird zu −4.
3. Die Konstante 3 wird zu 0.

Damit lautet die erste Ableitung f′(x) = 2x − 4. Bei x = 1 beträgt die Steigung −2, bei x = 3 beträgt sie 2. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn 2x − 4 = 0, also bei x = 2.

Die zweite Ableitung ist f″(x) = 2. Weil sie positiv ist, liegt bei x = 2 ein lokales Minimum. Mit f(2) = −1 ergibt sich der Tiefpunkt T(2 | −1).

Wo beim Ableiten Vorsicht nötig ist

Nicht jede Funktion besitzt überall eine Ableitung. Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist bei x = 0 beispielsweise nicht differenzierbar. Auch Definitionslücken bleiben wichtig: Bei f(x) = 1/x ist x = 0 ausgeschlossen. Bei trigonometrischen Ableitungen wie (sin(x))′ = cos(x) wird das Bogenmaß vorausgesetzt.