Z-Wert-Rechner: Werte standardisieren und vergleichen

72 Punkte in einer Prüfung: Ist das viel oder wenig? Ohne den Durchschnitt und die Streuung der Ergebnisse lässt sich das kaum beurteilen. Der Z-Wert-Rechner setzt einen einzelnen Messwert in Beziehung zu seiner Vergleichsgruppe. Das Ergebnis zeigt, wie viele Standardabweichungen der Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Auf rechenhirn.de hilft unser Rechner dabei, diese Standardisierung nachzuvollziehen. Im Folgenden erkläre ich die Formel und zeige, wie sich positive und negative Z-Werte einordnen lassen.

So wird der Z-Wert berechnet

Für die Berechnung benötigt man den beobachteten Wert x, den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ. Die Formel lautet:

z = (x − μ) / σ

Zuerst wird der Mittelwert vom beobachteten Wert abgezogen. Anschließend teilt man die Differenz durch die Standardabweichung.

Die Standardabweichung muss größer als null sein. Haben alle Beobachtungen denselben Wert, ist sie null; ein Z-Wert lässt sich dann mit dieser Formel nicht berechnen. Werden Mittelwert und Standardabweichung aus einer Stichprobe verwendet, schreibt man häufig x̄ und s statt μ und σ.

Ein Rechenbeispiel mit Prüfungspunkten

Angenommen, eine Prüfung hat einen Mittelwert von 60 Punkten und eine Standardabweichung von 10 Punkten. Eine Person erreicht 75 Punkte:

z = (75 − 60) / 10 = 1,5

Das Ergebnis liegt also 1,5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt. Die folgende Tabelle zeigt weitere Beispielwerte für dieselbe Vergleichsgruppe.

Was das Vorzeichen aussagt

• z > 0: Der Messwert liegt über dem Mittelwert.
• z = 0: Der Messwert entspricht dem Mittelwert.
• z < 0: Der Messwert liegt unter dem Mittelwert.

Je größer der Betrag des Z-Werts, desto größer ist der Abstand zum Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen. Ein negativer Wert ist dabei nicht automatisch schlecht: Bei einer Bearbeitungszeit kann ein niedriger Wert beispielsweise eine schnellere Leistung bedeuten.

Z-Wert und Wahrscheinlichkeit sind nicht dasselbe

Ein Z-Wert ist keine Prozentangabe. Für seine Berechnung ist auch keine Normalverteilung erforderlich. Möchte man daraus jedoch Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Standardnormalverteilung ableiten, muss eine passende Verteilungsannahme vorliegen.

Bei normalverteilten Daten liegen ungefähr 97,5 % der Werte unterhalb von z = 1,96. Zwischen z = −1,96 und z = 1,96 befinden sich ungefähr 95 % der Werte. Einseitige und zweiseitige Bereiche dürfen deshalb nicht verwechselt werden.

Worauf es bei der Eingabe ankommt

Mein Hinweis für die Eingabe: Messwert, Mittelwert und Standardabweichung müssen sich auf dieselbe Größe und Einheit beziehen. Verwende außerdem die Standardabweichung, nicht die Varianz. Der berechnete Z-Wert selbst ist einheitenlos.

Nicht zu verwechseln ist die Standardisierung eines Einzelwerts mit einem Z-Test für einen Mittelwert. Dort wird die Abweichung durch den Standardfehler geteilt, bei bekannter Populationsstandardabweichung also durch σ / √n. Das ist eine andere Fragestellung als die Einordnung eines einzelnen Messwerts.