Nullstellen Rechner: Lösungen für f(x) = 0 berechnen

Wo schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die x-Achse? Diese Stellen heißen Nullstellen. Dort ist der Funktionswert gleich null. Mit dem Nullstellen Rechner auf rechenhirn.de lässt sich die Gleichung f(x) = 0 untersuchen. Je nach Funktion gibt es keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele Lösungen.

Im Folgenden erkläre ich, wie sich Nullstellen berechnen lassen und woran du erkennst, welches Rechenverfahren zu einer Aufgabe passt.

Was eine Nullstelle bedeutet

Eine Zahl x0 ist genau dann eine Nullstelle, wenn f(x0) = 0 gilt. Der zugehörige Punkt im Koordinatensystem lautet (x0 | 0). Wichtig ist die Unterscheidung: Die Nullstelle ist der x-Wert, nicht der vollständige Punkt.

Beispiel: Für f(x) = x − 4 gilt f(4) = 4 − 4 = 0. Die Nullstelle liegt bei x = 4; der Graph schneidet die x-Achse im Punkt (4 | 0).

Nullstellen berechnen: vom Funktionsterm zur Lösung

Setze den Funktionsterm gleich null und löse die entstehende Gleichung nach x auf. Unser Rechner unterstützt dich bei der Berechnung; für die Einordnung des Ergebnisses sind Funktionstyp und Definitionsbereich entscheidend.

Lineare Funktionen

Bei f(x) = ax + b mit a ≠ 0 genügt das Umstellen der Gleichung:

ax + b = 0   ⇒   x = −b/a

Für f(x) = 2x − 6 folgt daraus x = 6/2 = 3.

Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen helfen Faktorisieren, die pq-Formel oder die Mitternachtsformel. Ein einfaches Beispiel ist:

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb lauten die beiden Nullstellen x1 = 2 und x2 = 3.

Funktionen höheren Grades

Auch bei Polynomen höheren Grades kann Ausklammern die Rechnung vereinfachen:

x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2)

Damit ergeben sich die Nullstellen −2, 0 und 2. Ist eine exakte Umformung nicht möglich, können numerische Verfahren Näherungswerte liefern.

Beispiele im Überblick

Definitionsbereich und gerundete Ergebnisse beachten

Bei Bruchfunktionen darf der Nenner nicht null werden. Für f(x) = (x − 2)/(x − 3) ist x = 2 eine Nullstelle. Dagegen ist x = 3 ausgeschlossen, weil die Funktion dort nicht definiert ist.

Mein Hinweis zur Ergebniskontrolle: Setze gefundene Lösungen in den ursprünglichen Funktionsterm ein. Bei gerundeten Nullstellen kann dabei ein kleiner Rest statt exakt null entstehen. Beispielsweise besitzt f(x) = x² − 2 die exakten Nullstellen ±√2, näherungsweise also ±1,4142.

Außerdem muss der Graph die x-Achse nicht immer durchqueren: Bei f(x) = (x − 2)² berührt er sie lediglich. Die Stelle x = 2 bleibt dennoch eine Nullstelle.