Logarithmus Rechner: Logarithmen mit beliebiger Basis berechnen

Welche Potenz von 2 ergibt 32? Die Antwort ist 5, denn 25 = 32. Genau diese Frage beantwortet ein Logarithmus. Mit unserem Logarithmus Rechner lässt sich der gesuchte Exponent für unterschiedliche Zahlen und Basen bestimmen – etwa für Aufgaben aus Mathematik, Naturwissenschaften oder Zinsrechnung.

Was bedeutet ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Bei einer Potenz wie 34 = 81 sind Basis und Exponent bekannt. Beim Logarithmieren wird dagegen der Exponent gesucht:

logb(x) = y   genau dann, wenn   by = x

Dabei bezeichnet b die Basis, x das Argument und y den gesuchten Exponenten.

Für reelle Logarithmen gelten drei Voraussetzungen: Das Argument muss positiv sein, die Basis muss positiv sein und die Basis darf nicht 1 sein. Auch Basen zwischen 0 und 1 sind erlaubt.

So verwendest du den Logarithmus Rechner

Gib die Zahl ein, deren Logarithmus du berechnen möchtest, und wähle die passende Basis. Bei log2(32) ist die Zahl also 32 und die Basis 2. Der Ergebniswert 5 bedeutet, dass du 2 mit dem Exponenten 5 potenzieren musst, um 32 zu erhalten.

Mein Tipp zum Prüfen einer Rechnung: Setze das Ergebnis als Exponenten ein. Im Folgenden erkläre ich außerdem, wie sich Logarithmen mit einem Basiswechsel berechnen lassen.

Beispiele für verschiedene Basen

Natürlicher Logarithmus, Zehnerlogarithmus und Basiswechsel

Der natürliche Logarithmus ln(x) verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis. Der Zehnerlogarithmus hat die Basis 10 und wird häufig als lg(x) geschrieben. Beim Zweierlogarithmus lautet die Basis 2. Die Schreibweise „log“ allein ist nicht überall eindeutig; entscheidend ist der jeweilige Zusammenhang.

Eine beliebige zulässige Basis lässt sich mit dieser Formel umrechnen:

logb(x) = ln(x) / ln(b)

Beispiel: log2(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,32193. Das Ergebnis ist keine ganze Zahl, weil 10 keine ganzzahlige Potenz von 2 ist.

Mit Logarithmen eine Laufzeit bestimmen

Ein Kapital wächst in einem vereinfachten Modell jährlich um 5 Prozent. Wann hat es sich verdoppelt? Aus 1,05t = 2 folgt:

t = ln(2) / ln(1,05) ≈ 14,21 Jahre.

Das gilt bei konstantem Wachstum ohne zusätzliche Einzahlungen oder Entnahmen. Wird der Kontostand nur nach vollen jährlichen Zinsgutschriften betrachtet, ist die Verdopplung erstmals nach 15 Jahren erreicht.

Häufige Fehler beim Logarithmieren

• Null oder negative Argumente: ln(0) und ln(−5) sind im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.
• Unzulässige Basis: Die Basis 1 ist ausgeschlossen, weil 1 in jeder Potenz wieder 1 ergibt.
• Summen falsch auflösen: logb(x + y) ist im Allgemeinen nicht gleich logb(x) + logb(y).
• Zu früh runden: Verwende bei Zwischenrechnungen möglichst ungerundete Werte und runde erst das Endergebnis.